Preview

Стратегические решения и риск-менеджмент

Расширенный поиск

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМАЛИЗАЦИЯ ИНСТИТУТОВ

https://doi.org/10.17747/2078-8886-2018-4-54-57

Полный текст:

Аннотация

Предложен способ математической формализации институтов в рамках теоретико-игрового подхода. Правила представляются перестановками выигрышей в платежной матрице. Такие перестановки ведут к изменению структуры равновесий в игре. Этот подход позволяет разделить координационные и распределительные аспекты институтов, разбить институты на классы и выделить совокупность институтов, производящих тождественное преобразование. Средствами эволюционной теории игр такое параметрическое управление отображается в изменении структуры устойчивых состояний, что позволяет исследовать влияние институтов на самоорганизацию, в частности через изменение топологии фазового портрета системы. В связи с тем что динамика со множественными стационарными точками типична для общей проблемы координации, предложенный способ формализации правил может иметь достаточно широкое применение.

Для цитирования:


Обыденов А.Ю. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМАЛИЗАЦИЯ ИНСТИТУТОВ. Стратегические решения и риск-менеджмент. 2018;(4):54-57. https://doi.org/10.17747/2078-8886-2018-4-54-57

For citation:


Obydenov A.Y. MATHEMATICAL FORMALIZATION OF INSTITUTIONS. Strategic decisions and risk management. 2018;(4):54-57. (In Russ.) https://doi.org/10.17747/2078-8886-2018-4-54-57

ВВЕДЕНИЕ

В предыдущих исследованиях мы предло­жили подход к стратегическому управлению, основанный на параметрическом управле­нии, где устремление к достижению целевых устойчивых состояний и режимов функцио­нирования обеспечивается с помощью фор­мальных институтов [Обыденов А. К)., 2016; 2017].

Подход, рассматривающий институты как инструмент параметрического управле­ния, ставит задачу найти соответствующие способы математической формализации1 ин­ститутов через их математическое представ­ление. Возникает задача формального отобра­жения множества институтов на множество их представлений. Предлагаемый нами спо­соб математического отображения институтов может содействовать математической форма­лизации институтов для целей параметриче­ского стратегического управления.

Все способы описания институтов делятся на явные и неявные. В первом случае описы­ваются формальные компоненты институтов, во втором - количественные и качественные экономические последствия применения ин­ститутов. Первые примеры явного описания институтов содержатся еще в трактатах Ге­родота (см., например: [Геродот, 1972]). Одна из современных попыток явной алгебраиче­ской формализации института предпринята В.    Тамбовцевым (2004).

Неявная форма описания института ха­рактерна для микроэкономического анализа. Пример такого описания разобран, например, в исследовании Д. Бромли [Bromley D. W., 1989, р. 111-115]. Аналитический микро­экономический подход мы использовали для определения последствий института саморегулирования [Крючкова П. В., Обыде­нов А.К)., 2003]. Возможен и теоретико-и­гровой способ описания институтов: инсти­туты приняты как фиксированные правила [Shubik М., 1982], представлены устойчи­выми стратегиями в повторяющихся играх [Schotter А., 1981]. Однако подобные подхо­ды не позволяют рассматривать институты в качестве параметров, управляющих состо­янием объекта (соотношением выигрышей в платежной матрице). Предлагаемый спо­соб как явного, так и неявного алгебраиче­ского представления институтов актуален в силу того, что отвечает требованиям па­раметрического подхода [Обыденов А.К)., 2016; 2017].

 

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ФОРМАЛИЗАЦИЯ ИНСТИТУТОВ. ДИСКРЕТНАЯ МОДЕЛЬ

Начнем с неявного подхода, он предполагает представле­ние правил через последствия их применения в рамках ма­тричных игр. Рассмотрим случай симметричной игры 2x2:

Будем считать, что применение правила приводит к изме­нениям в распределении выигрышей в платежной матрице. Можно представитьнезависимыми         координатами алгебраического вектора в фазовом пространстве:

X будет определять состояние системы, а действие правила -возможный переход системы из одного состояния в другое. Представим правило в виде оператора R, действующего на X(R : X -fX), и тем самым перейдем к явному описанию правил.

Предположим, что в ряде случаев в рамках динамической задачи, в частности для анализа точек равновесий в чистых стратегиях, значение имеет соотношение элементов X. Поэтому достаточно представить R как перестановку компонентов алгебраического вектора X.

При X1 > X2 > X4 > X3 получаем чистую координационную игру с двумя равновесиями по Нэшу (проблема координации2) (X1 = X при X1 > X2 > X4 > X3).

При X2 > X1 > X4 > X3 возникает «дилемма заключенного» с одним равновесием по Нэшу, являющимся неоптимальным по Парето (проблема кооперации) (X2=X при X2 > X1 > X4 > X3).

При X1 > X2 > X3 > X4 имеем дело с игрой, где равновесие по Нэшу совпадает с равновесием по Парето (равновесие по Нэшу оптимально по Парето) (X2=X при X1 > X2 > X3 > х4).

Формально действие правила можно представить в виде:

где R - оператор перестановки.

Введем обозначение  тогда для рас­смотренных выше случаев имеем:

Матрица правила равна:

Перестановки могут быть представлены в виде непересекающихся циклов (в данном случае в виде элементарной транспозиции), отсюда 

Итак, правило R13 переводит параметрически управля­емую систему из состояния X1 в состояние X3. Представле­нием правила является оператор перестановки, можно вос­пользоваться известными свойствами перестановок, которые автоматически распространяются на правила.

Матрицы перестановок ортогональны, образуют группу, обратная матрица равна транспонированной. Таким образом, правила образуют группу преобразований. Отсюда, в част­ности, вытекает обратное правило, отменяющее данное. Матрица представления обратного правила транспонирова­на по отношению к исходной. Правило, примененное такое количество раз, которое равно порядку группы, возвращает систему в начальное состояние.

Следует заметить, что выбранная нами форма алгебраи­ческого представления правила не позволяет установить вза­имно-однозначного соответствия между правилом и его пред­ставлением. Вообще говоря, каждое представление является вырожденным: ему соответствует множество (класс) правил.

Рассмотрим перестановку, которая характеризуется еди­ничным оператором E. Данной перестановке будет соот­ветствовать целый класс таких правил, действие которых на платежную матрицу в виде перестановок платежей будет оставлять неизменными соотношения между платежами.

Будем считать, что с точки зрения влияния на равновесия в игре, действие институтов которое оставляет неизменны­ми соотношения выигрышей и тем самым не имеет коорди­национных экономических последствий игровой ситуации, является чисто распределительным. С другой стороны, пе­рестановки, являющиеся представлениями правил, оставля­ют неизменной сумму выигрышей каждого игрока по всем возможным стратегиям. С экономической точки зрения ма­тематическое ожидание выигрыша (средневзвешенный вы­игрыш) остается неизменным для каждого участника. Такой средневзвешенный выигрыш равен одной четвертой от сум­мы выигрышей для любого участника, при условии что ве­роятности выбора участниками каждой из возможных стра­тегий в игре составляют 0,5. В этом смысле действие такого правила можно назвать координационным.

Определение. Действие правила называется координа­ционным по мере средневзвешенного выигрыша, если в ре­зультате его применения остается неизменной сумма выи­грышей каждого участника по всем возможным стратегиям.

Способы разделения последствий правил на коорди­национные и распределительные могут быть различными, их может быть несколько. В таком случае для выбора ка­кого-то конкретного способа деления требуется договорен­ность, конвенция. Представленное выше рассуждение пред­лагает один из способов такого разделения.

НЕПРЕРЫВНАЯ КИНЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Пусть существует некоторое мероприятие, которое мо­жет состояться при кооперативном поведении членов опре­деленной группы.

Тогда для вычисления ожидаемых выигрышей участни­ков, следующих кооперативной и некооперативной стратеги­ям соответственно, можно записать следующие соотношения:

где EU - ожидаемый выигрыш участников; К - коопера­тивная стратегия; n - доля участников, следующих кооперативной стратегии; X1 выигрыши в исходной платежной матрице.

Средний (средневзвешенный) выигрыш участника со­ставляет:

Тогда, отталкиваясь от уравнения репликации в рамках эволюционной теории игр (это уравнение, по сути, отражено в первом равенстве соотношения (8)), кинетическое урав­нение относительно п как независимой переменной можно записать [Hofbauer J., Sigmund К., 2003; Smith J.M., 1982; GolmanR., Page S. E., 2010; Bierman Н. S., Fernandez L, 1998, p. 384-397]:

В качестве управляющих параметров введем: а = X1 - х2 и b = X3 - х4.

Тогда в рамках рассмотренной выше одновременной игры в чистых стратегиях имеем:

  • при а > 0, b < 0 два равновесия по Нэшу (чистая коор­динационная игра, проблема координации);
  • при а < 0, b < 0 одно равновесие по Нэшу, отличное от равновесия по Парето (дилемма заключенного, про­блема кооперации);
  • при а > 0, b > 0 одно равновесие по Нэшу, совпадаю­щее с оптимальным по Парето.

А в рамках эволюционной игры из (8) получаем:

В качестве исходной ситуации до применения параме­трического управления рассмотрим случай а > 0, b < 0. Тог­да данное уравнение, разрешенное относительно, имеет три корня (0, b/(b - а), 1).

Если теперь уравнение

где Q - объем продукции, выпускаемый хозяйствующим  субъектом, которое описывает модель управления поведени­ем хозяйствующего субъекта в рамках сильной формы ги­потезы об ограниченной рациональности [Обыденов А. К)., 2017], нормировать на корни Q2 = 0,5 и Q3 = 1 вместо  корней Q2 = 1 и Q3 = 2

итогда   взамен этого уравнения (10) получаем:

А если в уравнение (9) положить a - 0,5; b = -0,5 то по­лучим уравнение, с точностью до обозначений идентичное уравнению (11):

 

Рис. 1. Фазовая диаграмма, соответствующая соотношению (12)

 

На фазовой диаграмме получаем две устойчивые точки: n1 = 0, n3 = 1 и одну неустойчивую: n2 = 0,5.

Таким образом, разными путями мы получили иден­тичные уравнения с тождественными корнями. И в обоих случаях существует два устойчивых состояния, создающих возможности для параметрического управления. Мы знаем, что этому случаю (а > 0, b < 0) с непрерывными Q и n со­ответствует одновременная координационная игра в чистых стратегиях с двумя равновесиями по Нэшу. Данный пример иллюстрирует «народную теорему»: в чистых стратегиях одновременной игры строгим равновесиям по Нэшу в эво­люционной игре в рамках динамики репликации соответ­ствуют аттракторы (асимптотически устойчивые состояния) [CressmanR., 2003].

Для осуществления параметрического управления по от­ношению к (12) положим в (9) а = 1, b = 0 (одно равновесие по Нэшу, оптимальное по Парето) и получим кинетическое уравнение:

Имеем одно устойчивое состояние n = 1:

 

Рис. 2. Фазовая диаграмма, соответствующая соотношению (13)

 

В рамках модели сильной формы гипотезы об ограни­ченной рациональности такому управлению соответствует ценовое регулирование [Обыденов А.Ю., 2017]. С точки зрения теории игр при a = 1; b = 0 мы           имеем одновременную

игру с одним равновесием по Нэшу в чистых стратегиях, ко­торое может быть оптимальным по Парето. Такому параме­трическому управлению соответствует правило (институт) с матрицей, указанной в уравнении (4).

 

Параметрическое управление в рамках игр

Характеристи­ки и модели для сравнения

Исходное

состояние

Состояние после параметрического управления

Параметры

а > 0, b < 0

а > 0, b = 0

Дискретная (не­повторяющаяся) игра

Чистая координа­ционная игра, про­блема координации, два равновесия по Нэшу

Одно равновесие по Нэшу, которое может быть опти­мальным по Па­рето

Эволюционная

игра

Два устойчивых состояния

Одно устойчивое состояние, которое может оказаться желаемым

Меры пара­метрического управления в рамках модели сильной формы ограниченной рационально сти

Ценовое

регулирование

 

Исходя из тождества уравнений (11) и (12), аналогично­сти уравнения после управления (13), заключаем, что раз­ные по постановке задачи приводят к идентичным описа­ниям, схожим способам управления и их результатам. Ранее уже отмечались сходства между кинетическим уравнением в рамках модели сильной формы ограниченной рациональ­ности (уравнение 11) и уравнением, полученным на базе эволюционной теории игр (уравнение 12). Сходства обуслов­лены наличием эффекта масштаба и пропорциональности выгоде изменения независимой переменной в обоих случа­ях. В модели сильной формы ограниченной рациональности роль теоретико-игровой средней выгоды играет нормальная прибыль, отнесенная к единице продукции. В обоих случаях имеет место множественность устойчивых состояний. Все эти сходства (см. таблицу) позволяют обобщить результаты проведенных исследований.

В общем случае речь может идти об эффекте координа­ции [Полтерович В.М., 1999, с. 8-9]. Например, чем боль­ше людей следуют какой-либо ментальной модели, норме, тем менее выгодным становится отклоняться от нормы и тем выше выгода каждого, придерживающегося данной модели поведения или нормы. Некоторые исследователи схожий эффект называют «эффектом стадности» [Dixit А. К., NalebuffB. J., 1991].

Таким образом, рассмотренная нелинейная динамика с тремя стационарными состояниями в целом характерна для проблемы координации, и такой динамике соответству­ют самые различные координационные задачи: например, эволюция правила направления дорожного движения [Кузь- минов Я. И., Бендукидзе К. А., Юдкевич М. М., 2006], модель эволюции правила QWERTY, динамика соседства белого и афроамериканского населения в американских городах [Dixit, Nalebuff, 1991]. Такое поведение характерно для ак­тивных (самоорганизующихся) бистабильных сред [Ло­скутов А.Ю., Михайлов А.С., 2007]. При этом наш подход может оказаться эффективным для решения проблем коор­динации в целом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Институты могут быть представлены в виде перестано­вок выигрышей экономических субъектов в рамках теорети­ко-игрового подхода. Такая алгебраическая формализация институтов помогает исследовать свойства институтов через их управляющее воздействие на экономическую ситуацию. В частности, можно будет более строго разграничить коор­динационный и распределительные аспекты функциониро­вания институтов, выявить в практике управления ситуации, когда набор установленных правил приводит к тождествен­ному преобразованию, а также объединить правила, произ­водящие одинаковое действие, в классы.

Использование формализма эволюционной теории игр позволяет перейти от одновременных дискретных игр к па­раметрическому управлению в рамках нелинейно-динамиче- ских моделей. Нелинейная динамика с тремя стационарными состояниями встречается в самых различных моделях. Пред­ложенный способ формализации институтов может быть использован для решения достаточно широкого круга задач, например для представления институтов в виде параметров, позволяющих стратегически управлять самоорганизаци­ей экономических субъектов, в частности путем изменения структуры устойчивых состояний в ситуациях с проблемой координации.

Об авторе

А. Ю. Обыденов
ФГОБУ ВО «Финансовый университет при Правительстве РФ»
Россия

Кандидат физ.‑мат. наук, доцент Департамента менеджмента ФГОБУ ВО «Финансовый университет при Правительстве РФ». Область научных интересов: стратегическое управление, новая институциональная экономическая теория, системный подход к управлению, теория сложности в стратегическом управлении.



Список литературы

1. Геродот (1972) История. М.: Наука. 600 с.

2. Крючкова П. В., Обыденов А. Ю. (2003) Издержки и риски саморегулирования. М.: ИИФ «СПРОС» КонфОП. 93 с.

3. Кузьминов Я. И., Бендукидзе К. А., Юдкевич М. М. (2006) Курс институциональной экономики. Институты, сети, трансакционные издержки, контракты. М.: Изд. дом ГУ ВШЭ. 444 с.

4. Лоскутов А. Ю., Михайлов А. С. (2007) Основы теории сложных систем. М.; Ижевск: Институт компьютерных исследований. 620 с.

5. Обыденов А. (2016) Основания параметрического стратегического управления: институциональный анализ // Вопросы экономики. № 8. С. 120–126.

6. Обыденов А. Ю. (2017) Параметрическое управление поведением хозяйствующих субъектов в условиях ограниченной рациональности. // Эффективное Антикризисное Управление. Т. 103–104, № 4–5. С. 87–110.

7. Полтерович В. М. (1999) Институциональные ловушки и экономические реформы // Экономика и математические методы. Т. 35, № 2. С. 3–20.

8. Тамбовцев В. Л. (2004) О разнообразии форм описания институтов // Общественные науки и современность.

9. № 2. С. 107–118.

10. Bierman H. S., Fernandez L. (1998) Game Theory with Economic Applications. Boston, Mass.: Addson Wesley. 480 p.

11. Bromley D. W. (1989) Economic Interests and Institutions: The Conceptual Foundations of Public Policy. New York. 274 p.

12. Cressman R. (2003) Evolutionary dynamics and extensive form games. – Cambridge, Mass.: MIT Press. 330 p.

13. Dixit A. K., Nalebuff B. J. (1991) Thinking Strategically: The Competitive edge in Business, Politics and Everyday Life. New York; London: W. W. Norton. 393 p.

14. Golman R., Page S. E. (2010) Basins of Attraction and Equilibrium Selection Under Different Learning Rules. // Journal of Evolutionary Economics. Vol. 20, № 2. P. 49–72.

15. Hofbauer J., Sigmund K. (2003) Evolutionary game dynamics // Bulletin of the American Mathematical Society. Vol. 40, № 4. P. 479–519.

16. Schotter A. (1981) The Economic Theory of Social Institutions. Cambridge. 192 p.

17. Shubik M. (1982) Game Theory in the Social Sciences. Cambridge, Mass.: The MIT Press. 528 p.

18. Smith J. M. (1982) Evolution and the Theory of Games. Cambridge: Cambridge University Press. 234 p.


Для цитирования:


Обыденов А.Ю. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФОРМАЛИЗАЦИЯ ИНСТИТУТОВ. Стратегические решения и риск-менеджмент. 2018;(4):54-57. https://doi.org/10.17747/2078-8886-2018-4-54-57

For citation:


Obydenov A.Y. MATHEMATICAL FORMALIZATION OF INSTITUTIONS. Strategic decisions and risk management. 2018;(4):54-57. (In Russ.) https://doi.org/10.17747/2078-8886-2018-4-54-57

Просмотров: 309


ISSN 2618-947X (Print)
ISSN 2618-9984 (Online)