Preview

Стратегические решения и риск-менеджмент

Расширенный поиск

СКАЛЯРИЗАЦИЯ ВЕКТОРНЫХ ПРЕДПОЧТЕНИЙ: ПРЕОДОЛЕНИЕ ПРИМИТИВИЗАЦИИ

https://doi.org/10.17747/2078-8886-2013-3-88-94

Полный текст:

Аннотация

Рассмотрены недостатки метода построения скалярной функции предпочтения, определенной в векторном пространстве, на основе аддитивной формы и коэффициентов важности. Показаны преимущества подходов, основанных на использовании функций полезности, коэффициентов замещения, попарного сравнения показателей. Приведены способы нивелирования недостатков метода попарного сравнения. В качестве альтернативного подхода предложен целевой подход к определению функции предпочтения на основе описания физических эффектов функционирования системы и использования критериев-заместителей. Целевой подход рассмотрен на примере использования энтропийной меры для оценки качества средств наблюдения. Выдвинута гипотеза о возможности каталогизации основных систем и разработки типовых моделей скаляризации векторных предпочтений с использованием целевого подхода.

Для цитирования:


Трошин Д.В. СКАЛЯРИЗАЦИЯ ВЕКТОРНЫХ ПРЕДПОЧТЕНИЙ: ПРЕОДОЛЕНИЕ ПРИМИТИВИЗАЦИИ. Стратегические решения и риск-менеджмент. 2013;(3):88-94. https://doi.org/10.17747/2078-8886-2013-3-88-94

For citation:


Troshin D.V. SCALARIZATION OF THE VECTOR PREFERENCES: OVERCOMING PRIMITIVIZATION. Strategic decisions and risk management. 2013;(3):88-94. (In Russ.) https://doi.org/10.17747/2078-8886-2013-3-88-94

Входе разработки программ создания и раз­вития социально-экономических систем, бизнес-стратегий, обликов сложных технических объектов и т. п., как правило, формируется не­сколько вариантов решений, которые приходит­ся оценивать и сравнивать между собой. Одним из ключевых этапов решения этой задачи являет­ся формирование скалярной функции предпочте­ний (полезности), определенной в многомерном пространстве учитываемых параметров. Глав­ное назначение такой функции - ранжирование альтернатив решения с целью выявить наиболее предпочтительное. Любые функции, которые со­храняют один и тот же порядок ранжирования вариантов решения, являются инвариантными. Неудачный выбор функции предпочтения мо­жет привести к выбору не лучшей альтернати­вы. В случае принятия решений, касающихся долгосрочного развития, крупных экономических проектов и дорогостоящих технических систем, возможен ущерб, значительно превышающий за­траты на обоснование таких решений.

Наиболее распространенным и в то же время примитивным способом описания интегральной

функции предпочтения F является ее представ­ление в виде средневзвешенной суммы норми­рованных на интервале [0; 1] частных функций предпочтения φτ для каждого r-го показателя ре­шения из некоторого заданного множества рас­сматриваемых показателей:

где R - количество частных показателей,

; zr - весовой коэффициент для r-го

частного показателя, фиксированный на всей области определения этого показателя.

Простейший вариант частной функции пред­почтения - значения соответствующего r-го част­ного показателя варианта решения mr, нормиро­ванные на некотором интервале, обычно [0; 1]. В этом случае в качестве базы для нормирования часто выбираются максимальные и минимальные значения показателей по выборке сравниваемых вариантов решения. Математическое представле­ние нормированных показателей mrv выглядит следующим образом:

где, mrmin, mrmax - минимальное и максимальное значения r-го частного показателя на всем множе­стве рассматриваемых вариантов решений. Если увеличение качества решения пропорционально росту значения рассматриваемого r-го частного показателя варианта решения, то использует­ся левая формула, в противном случае - правая. За базу нормирования принимается разброс зна­чений рассматриваемых вариантов решений.

Другим вариантом нормирования является приведение значения некоторой характеристики к максимальному значению этой характеристики в пространстве рассматриваемых вариантов ре­шений:

Если увеличение качества решения пропор­ционально росту значения рассматриваемого r-го частного показателя варианта решения, то ис­пользуется левая формула, в противном случае - правая.

Подобные подходы рассмотрены в работе [2], показана их принципиальная неприемлемость, поскольку выбор базы нормирования влияет не только на абсолютные значения целевой функ­ции, но и, главное, на ранги рассматриваемых аль­тернатив. Однако неприемлемо и предложенное в указанной работе решение проблемы: за базу для нормирования принимаются характеристики некоторого эталонного образца (решения) из мно­жества известных. В современных условиях уско­ренного научно-технического прогресса эталон­ные образцы меняются несколько раз в год. Кроме того, при решении социально-экономических за­дач никакого эталонного образца может не быть в принципе. Невозможно построить формали­зованный критерий ранжирования альтернатив, устойчивый к смене эталонного образца.

Недостатки подхода обусловлены тем, что по­пытка найти объективную форму описания пред­почтений строится на субъективном выборе диа­пазона изменения рассматриваемой величины, который не позволяет получать устойчивые ре­зультаты при введении относительных величин оценки показателей. Под устойчивостью понима­ется сохранение порядка предпочтений вариантов решений независимо от включения в рассмотре­ние новых альтернатив.

Простота структуры функции F в формуле (1) явилась причиной широчайшего распростра­нения метода взвешенной суммы в различных областях прикладных исследований: от ранжиро­вания вариантов номенклатуры товаров широкого потребления в некоторой рыночной нише до опи­сания финансовой устойчивости банков, выбора направлений создания сложных военно-техниче­ских систем и программ развития больших со­циально-экономических образований. При этом исследователи и проектировщики зачастую не углубляются в изучение адекватности метода решаемой задачи, а также в методологию опреде­ления значений весов (коэффициентов важности).

В то же время далеко не всегда структура ин­тегральной функции предпочтения может быть представлена в аддитивной форме. Обязательное условие для этого - выполнение гипотезы об ад­дитивной независимости показателей по пред­почтению (полезности). Даже при выполнении менее жесткого условия - независимости по по­лезности (но не аддитивной) - показатели могут усиливать или ослаблять полезности друг друга и интегральная функция приобретает мультипли­кативный или полилинейный вид [1, 3]. Игнори­рование этого факта приводит к ошибкам ранжи­рования альтернатив решения.

В формуле (1) предполагается, что функция предпочтений линейно зависит от значений со­ответствующего показателя. Однако эта гипотеза во многих случаях не соответствует действитель­ности. Как правило, частные функции предпо­чтения (полезности) монотонно либо возрастают, либо убывают на множестве определения, однако вид их не является линейным. С большей вероят­ностью можно ожидать, что при описании пред­почтений будет наблюдаться эффект насыщения и приращение предпочтения станет уменьшаться по мере роста значения показателя. В теории по­лезности строго доказано, что если лицо, прини­мающее решение (ЛПР), проявляет одинаковую склонность или несклонность к риску во всем ди­апазоне рассматриваемых значений параметров, то функция полезности имеет экспоненциальный характер [1].

Для определения весовых коэффициентов разработчики различных методик и моделей, как правило, ограничиваются отсылками к ме­тодам экспертных оценок. Следует заметить, что неоспоримая основа для определения весов существует только тогда, когда все частные пока­затели могут быть однозначно отображены на ка­кую-либо общую шкалу, например стоимости или какой-либо физической величины. В против­ном случае обоснованный и объяснимый выбор значений весов весьма затруднителен.

Таким образом, формальное использование простейшей модели описания векторных пред­почтений в виде (1) зачастую является неоправ­данным упрощением предпочтений ЛПР и может приводить к существенным ошибкам ранжиро­вания альтернатив решения. При этом погреш­ность вычисления значения предпочтения для не­которой альтернативы может составлять до 10%, а в иных случаях и значительно больше. Во мно­гих задачах справедливо конвертировать абсо­лютные значения нормированной функции пред­почтения в стоимостную форму явно или неявно. В этом случае ошибка выбора альтернативы, ко­торая уступает на 5-10% лучшей, но отвергнутой по некомпетентности, на уровне региональных проектов, бизнес-стратегий, передовых техноло­гий и т. п. может привести к потерям в размере n (107-108) руб.

 

Попарное сравнение важности частных показателей

За последние 15-20 лет поверхностное отно­шение к методологии принятия многокритери­альных решений в условиях неопределенности и влияния человеческого фактора стало тенден­цией. Примитивность быстрых легких реше­ний, полученных на основе интуиции, выдается за экспертную оценку. В то же время следует отметить, что современная методология извле­чения, обработки и использования экспертного знания и предпочтений ЛПР является результа­том серьезных исследований, в том числе в сфере математической логики, функционального и кор­реляционного анализов, психологии мотивации и других научных дисциплин. Эффективное ис­пользование этой методологии требует професси­ональной квалификации и экспертного труда.

Более углубленный подход к скаляриза- ции векторных предпочтений заметно сложнее. Тем не менее, даже если требуется провести ра­боту с группой лиц, участвующих в принятии решения, временные затраты не превышают 10 чел./дней. Эти затраты несопоставимы с эффек­том, который может быть получен в результа­те принятия точного и обоснованного решения. В масштабе массовой аналитики и обоснования решений можно облегчить работу за счет грамот­ного использования специальных программных пакетов, существующих на рынке интеллектуаль­ной продукции.

Для того чтобы каким-то образом выявить сравнительные предпочтения ЛПР в отношении тех или иных параметров, в теории принятия решений разработан ряд методов, результаты ко­торых с помощью математических манипуляций преобразуются в коэффициенты важности. К чис­лу имеющих логически стройную структуру от­носятся использование коэффициентов замеще­ния вместо коэффициентов важности [1], методы попарного сравнения показателей по степени влияния на интегральное предпочтение [4].

Использование коэффициентов замещения вместо коэффициентов важности. Исследова­тель выясняет у ЛПР, насколько можно ухудшить решение по одному показателю, чтобы добиться наилучшего значения по другому при неизмен­ных значениях остальных показателей. При этом каждое предпочтение достаточно задействовать только в одном сопоставлении. Единственный недостаток - необходимость установить точ­ные (на субъективном уровне) от­ношения между коэффициентами для частных предпочтений, что мо­жет вызвать размышления и сомне­ния у ЛПР.

Метод попарного сравне­ния. Процедура выяснения пред­почтений ЛПР предельно проста. По грубой шкале эксперт попарно сравнивает силу влияния показате­лей на итоговое решение о выборе альтернативы. В простейшем слу­чае ЛПР предлагается заполнить таблицу, аналогичную тем, которые ведутся на тур­нирах по игровым видам спорта (см. в таблице).

Если, например, первый показатель важней, чем r-й, то в ячейку, расположенную на пересе­чении первой строки и r-го столбца вносится 2, в противном случае - 0. Если ответ дать затруд­нительно или ЛПР считает показатели равноцен­ными, то в соответствующую ячейку вносится 1.

Сравнение пар показателей осуществляет­ся по очень приблизительной шкале (всего три значения), но за счет того, что для выяснения важности каждого показателя используется не­сколько оценок сравнительной предпочтитель­ности с другими частными показателями (разные измерители приблизительны, но их несколько), точность относительных оценок оказывается до­статочно высокой. Очевидно, что метод дает бо­лее адекватные и устойчивые результаты при уве­личении количества сравниваемых показателей. Попарное сравнение предпочтительности может осуществляться и по шкале, имеющей больше градаций, например «значительно важнее», «не­много важнее», «безразлично», «менее важный», «существенно менее важный».

В таблице собраны относительные значения приоритетов (весов) показателей. Далее вычис­ляются абсолютные веса показателей, которые используются для скаляризации векторных пред­почтений (вычисления интегральных функций предпочтений). Для этого существует ряд спосо­бов, например использование собственных значе­ний обратно симметричной квадратной матрицы [4]. Достаточно приемлемые результаты, облада­ющие преимуществом методической простоты и ясности, можно получить путем определения абсолютного веса как доли полученных баллов в их общей сумме.

Приоритет r-го показателя в этом случае рас­считывается по формуле

где bra - значение в ячейке, стоящей на пересече­нии r-й строки и α-го столбца.

Методу присущи некоторые недостатки, ко­торые не позволяют рассматривать его результа­ты как абсолютно точно отражающие структуру предпочтений ЛПР. Во-первых, отсутствует объ­ективная основа для определения диапазона изме­рения важности. Во сколько раз наиболее важный показатель (победитель) важнее (сильнее) пока­зателя, занявшего последнее место? Во-вторых, результаты вычисления абсолютных весов суще­ственно зависят от выбранного численного экви­валента наименьшего значения шкалы сравнения.

Например, если выбрана «спортивная шкала» (0; 1; 2), то в какой-либо строке матрицы могут ока­заться одни нули и соответствующий показатель может получить нулевой вес. В этом случае он должен быть исключен из анализа, даже если это нецелесообразно с практической точки зрения.

Если исключать показатель не следует, то можно прибегнуть к двум способам коррекции весов, получаемых непосредственно по данным таблицы.

Способ 1. Устанавливается минимальный вес zmln, который может иметь показатель, и в соот­ветствии с ним вместо zr используется zr~, вычис­ляемое по следующей формуле:

Способ 2. Устанавливается максимально до­пустимое отношение между максимальным и ми­нимальным весом h = zmax/zmin. Идея этого спосо­ба наиболее близка к коэффициентам замещения.

Учитывая, что человек надежно различает только 7 градаций некоторой величины, можно рекомендовать принимать значение h ≤ 10 (не бо­лее 70% различаемой разницы соседних градаций, что примерно соответствует принятому в теории электрорадиоцепей порогу устойчивого различе­ния сигнала по сравнению с белым шумом).

Можно избежать нулевых значений br, изменив числовую шкалу описания предпочтений. Напри­мер, «предпочтительно» - 3, «равнозначно» - 2, «менее предпочтительно» - 1. В этом случае в формуле (4) знаменатель следует умножить на 2.

Отсутствие нулевых значений в таблице позволяет использовать еще один способ опреде­ления абсолютных значений весов показателей - на основе вычисления относительной значимости среднегармоничных оценок баллов для каждого r-го показателя.

Упрощенным подходом к оценке вариантов решения может быть расчет длины вектора, опи­сывающего вариант решения, имеющего R коор­динат (частных показателей):

где m0r- нормированное значение r-го показа­теля качества решения; zr может быть вычислено одним из выше приведенных способов для вычис­ления коэффициентов важности или замещения.

Нормированные значения показателей, в от­личие от модели (2) - (3), вычисляются по фор­муле

где mmax - максимально возможное (теорети­чески предельное) значение рассматриваемого показателя.

Точка отсчета (начало координат в рассматри­ваемом векторном пространстве) соответствует минимально возможным значениям показате­лей и совпадает с нулем. В этом случае норми­рование используется только для обеспечения сопоставимости влияния частных показателей на интегральную функцию предпочтения. В та­кой модели интегральной функции предпочтения варианты решения оцениваются не относительно друг друга, а по удаленности относительно не за­висящей от них точки отсчета в пространстве ре­шений.

Важным методическим ресурсом уточнения решений является использование экспертных оце­нок на наиболее низком уровне. Задачу анализа альтернатив необходимо декомпозировать на мак­симально возможное количество частных задач и проблем, при решении которых уже не обойтись без субъективного мнения ЛПР. Далее перед ЛПР ставятся простые вопросы, на которые оно может дать очевидные для себя ответы. Например, срав­нить по значимости два показателя, определить свое отношение к риску при различных значениях показателя в построении функции предпочтения, определить точку половинной предпочтительно­сти и т. п. В этом случае ЛПР легче разобраться в своих предпочтениях, его ответы будут точнее.

Рассмотренные способы скаляризации и, в частности, вычисления весовых коэффициентов позволяют повысить точность решений и их по­нятность для ЛПР. Объективные методы оценива­ния различных решений можно развивать за счет применения целевого подхода, когда вместо аб­страктных функций предпочтения используется некоторая физическая величина, которая описы­вает конечный целевой эффект реализации реше­ния (использования технического образца).

В качестве основы для разработки таких под­ходов следует рассматривать мотивацию творче­ской деятельности, цели, которые ставит перед собой человек:

  • уменьшение степени неопределенности ин­тересующих состояний, которая может быть из­мерена в единицах информации;
  • совершение (или обеспечение) желательных событий и несовершение (предупреждение) не­желательных, что может быть описано вероятно­стью, среднеожидаемым благом или среднеожи- даемым ущербом;
  • продолжительность жизни;
  • обеспечение демографических и трудовых ресурсов;
  • экономия трудозатрат;
  • экономия материальных ресурсов и энергии;
  • степень свободы выбора состояний;
  • обеспечение разнообразия, например биоло­гического, и др.

Качество системы может быть описано степе­нью достижения цели ее создания и использова­ния, а в качестве оценочного может использоваться критерий-заместитель, который взаимно одно­значно описывает степень приближения к цели. На общем методологическом уровне невозможно решить эту задачу, поскольку смысл целевых кри­териев и формализованная форма их описания не­посредственно зависят от содержания конкретной задачи. Мы акцентируем внимание на продуктив­ности подобных подходов к моделированию пред­почтительности решений. В качестве иллюстра­ции возможности их использования предлагается комплексный объективный критерий для оценки качества средств наблюдения как для решения во­енных задач, так и в интересах экономики, науки, социальных программ.

Традиционно для оценки качества решения целевой задачи наблюдения используются четыре основных показателя:

  • разрешающая способность в каждом из диа­пазонов наблюдения;
  • оперативность получения, передачи, обра­ботки и представления информации;
  • периодичность работы;
  • площадь наблюдаемой поверхности или объ­ем наблюдаемого пространства.

Для интеграции указанных показателей в ска­

лярный показатель качества (предпочтения) мо­жет быть введена энтропийная мера оценки ре­зультатов наблюдения, которая позволяет строго аналитически описать количество добытой ин­формации:

где H - количество информации о состоянии объекта в будущий момент времени τ, если изме­рение (наблюдение) состояния объекта проведено в момент времени t; kt - состояние (значения вы­ходной характеристики) аппаратуры наблюдения; Kt - общее количество возможных состояний ап­паратуры наблюдения в момент времени t; mT - состояние наблюдаемого объекта в τ-й момент времени; Μτ - общее количество возможных со­стояний наблюдаемого объекта в момент вре­мени τ; в общем случае τε[0; да], однако прак­тически разница (t – τ) должна определяться периодичностью наблюдения; mt - условный по­рядковый номер состояния наблюдаемого объек­та в t-й момент произведенного наблюдения; p(mτ/mt), p(mt/kt) –- вероятности следующих со­бытий: k-го состояния (значения выходной ха­рактеристики) аппаратуры наблюдения, mτ-ro состояния (местоположения) наблюдаемого объ­екта при условии, что в момент времени t его со­стояние было mt; mt-го состояния наблюдаемого объекта при условии, что в момент времени t вы­ходная характеристика аппаратуры наблюдения имела kt-е значение.

Указанные вероятности определяются пове­дением наблюдаемой системы и тактико-техни­ческими характеристиками аппаратуры наблю­дения. Например, если наблюдаемая система - подвижный морской объект, то через время (t - τ) он может с равной вероятностью находить­ся в любой точке круга с диаметром vmaxr, где v - максимально возможная скорость перемеще­ния интересующего объекта.

Разрешающая способность аппаратуры на­блюдения и другие технические характеристики влияют на величину вероятности p(mt/kt) пра­вильной идентификации объекта наблюдения (например, трактор или танк) и точность опреде­ления его состояния (местоположения). Эта ве­роятность может быть рассчитана аналитически в каждом конкретном случае или по результатам соответствующих экспериментальных исследо­ваний. Вероятность p((mτ/mt) позволяет учесть оперативность и периодичность наблюдения. Вероятности p(kt) используются для обеспечения математической строгости и универсальности формальной постановки задачи применительно к разнообразным приложениям. Как правило, все kt-е состояния равновероятны. Для случая зада­ния состояния объекта наблюдения или выходной характеристики аппаратуры наблюдения в ка­ком-либо непрерывном диапазоне соответству­ющие суммы заменяются интегралами, а вероят­ности - плотностями распределения вероятности на заданной области изменения величин.

Энтропийный подход позволяет не только объективно определить меру для сравнения раз­личных вариантов создания систем наблюдения, но и интерпретировать трудно осязаемую вели­чину энтропии через экономически очевидные характеристики для абсолютной оценки качества наблюдения. Для этого могут быть использованы эквивалентные интервалы погрешности измеряе­мой величины.

Задачи наблюдения можно декомпозировать на элементарные задачи двух видов:

  • количественные (определение координат, геометрических размеров, числа объектов в на­блюдаемой группе);
  • качественные (распознавание образов, иден­тификация объектов).

Для количественных задач величину добытой информации можно интерпретировать в едини­цах измерения эквивалентной погрешности опре­деления наблюдаемой величины. Пусть Напр - энтропийная мера исходной (априорной) неопре­деленности некоторой наблюдаемой величины S, тогда

где Smln и Smax - границы интервала возможных значений S для непрерывного случая; Si - неко­торое i-е дискретное значение; I - общее количе­ство возможных значений величины S; φ(S) - закон плотности распределения; φ(Si) - частота выпадения событий.

Эквивалентный интервал Sэкапр  значения вели­чины S равен:

После выполнения операции наблюдения, заканчивающейся представлением целевой ин­формации потребителю, апостериорная неопре­деленность значения величины S равна Напс и, соответственно, величина эквивалентного интер­вала изменения ее значения Sапс равна:

Величина Напс вычисляется аналогично вели­чине Напр, но в результате проведенного наблю­дения сужается интервал [Smln; Smax] за счет из­менения значений его границ для непрерывного случая или уменьшается величина I для случая дискретного множества возможных состояний наблюдаемого объекта.

Разность  представляет  собой

эффект от применения средства наблюдения, вы­раженный в единицах величины S. В зависимости от конкретной задачи возможна дальнейшая ин­терпретация показателя ΔS, вплоть до стоимост­ного. Например, количество и мощность требуе­мого боезаряда для поражения найденной цели, объем топлива и других ресурсов для приближе­ния к найденному объекту спасения и т. п.

Решение задачи распознавания образов (ка­чественная задача наблюдения) можно оценить с помощью среднеожидаемой функции полезно­сти, вычисляемой по формуле

где j - объект из множества распознаваемых объектов; J - общее количество распознавае­мых объектов; q - результат распознавания; если q = j, то задача распознавания решена правиль­но, если q Ф j, то произошла ошибка распозна­вания; z(q/j) - функция штрафа, накладываемого за ошибку, возникающую при решении, что рас­познан объект q, в то время как в действитель­ности наблюдается j-й объект; u(z(q/j))- функ­ция полезности по показателю размер штрафа; %nc(q//) - вероятность события, что решение о том, что распознан j-й объект правильное; η^Ο) - априорная вероятность появления j-го объекта.

В форме штрафа может выступать зря потра­ченный ресурс, понесенный ущерб в результате несвоевременного обнаружения объекта, санкции и различного рода компенсации ущерба, нанесен­ного стороннему субъекту в результате ошибоч­ной идентификации объекта.

Рассмотренный на примере средств наблю­дения, к которым можно относить средства гео- и топосъемки и навигации, целевой подход для формирования функции предпочтения имеет перспективу развития для широкого круга при­кладных задач. В случае успешной реализации целевой подход позволяет добиться логически неуязвимых оценок вариантов решений и объ­ективности выводов с точностью до оценок зна­чений частных параметров рассматриваемых систем и их взаимодействия с окружающей сре­дой. В результате развития этого направления скаляризации векторных предпочтений можно говорить о перспективе создания набора типо­вых методических подходов и моделей для ис­пользования в различных часто повторяющихся ситуациях принятия социально-экономических и технико-экономических решений. Для этого, прежде всего, необходимо каталогизировать ука­занные ситуации и определить для них целевые критерии.

В заключение целесообразно подчеркнуть, что преодоление сложившейся тенденции на при­митивизацию подходов к обоснованию решений позволит упростить продвижение лучших иннова­ций, в значительной мере положительно повлияет на экономическую эффективность инвестиций.

Список литературы

1. Кини Р. Л., Райфа Х. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. М.: Радио и связь, 1981. 560 с.

2. Кузнецов Ю. А. К вопросу о нормировании характеристик при оценке технического уровня изделий // Вестник Концерна ПВО «Алмаз-Антей». 2012. № 2 (8). С. 016–020.

3. Петров А. В., Федулов Ю. Г. Подготовка и принятие управленческих решений. М.: РАГС, 2000. 241 с.

4. Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий / Пер. с англ. Р. Г. Вачнадзе. М.: Радио и связь, 1993. 278 с.


Об авторе

Д. В. Трошин
ФГБОУ ВПО «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации»
Россия

кандидат техн. наук, ведущий научный сотрудник Института проблем экономической безопасности и стратегического планирования

Участник подготовки государственных решений и проектов в сфере стратегического планирования, автор почти 30 научных работ. Область научных интересов: стратегическое планирование, обеспечение национальной безопасности и устойчивого развития предпринимательских структур, анализ систем и методология поддержки принятия решений.



Для цитирования:


Трошин Д.В. СКАЛЯРИЗАЦИЯ ВЕКТОРНЫХ ПРЕДПОЧТЕНИЙ: ПРЕОДОЛЕНИЕ ПРИМИТИВИЗАЦИИ. Стратегические решения и риск-менеджмент. 2013;(3):88-94. https://doi.org/10.17747/2078-8886-2013-3-88-94

For citation:


Troshin D.V. SCALARIZATION OF THE VECTOR PREFERENCES: OVERCOMING PRIMITIVIZATION. Strategic decisions and risk management. 2013;(3):88-94. (In Russ.) https://doi.org/10.17747/2078-8886-2013-3-88-94

Просмотров: 365


ISSN 2618-947X (Print)
ISSN 2618-9984 (Online)