В современной экономической науке все более важную роль играет математическое моделирова­ние. Динамика многих экономических процессов может моделироваться нелинейными дискрет­ными системами. Одним из примеров использо­вания математического аппарата в экономике яв­ляется модель Файхтингера [Feichtinger G.,1992]. Это модель микроэкономической системы, опи­сывающей взаимодействие двух конкурирующих фирм, которые являются доминирующими ком­паниями на некотором сегменте товарного рын­ка. Предполагается, что обе фирмы используют асимметричные стратегии инвестирования, при­чем каждый последующий уровень инвестиций зависит от ситуации в предшествующем перио­де. Так, первая фирма инвестирует больше, если в прошлый период она опережала вторую фирму, а вторая фирма увеличивает объем инвестиций в том случае, если в предыдущий период она про­игрывала первой фирме.

При определенных условиях модель Файхтингера, как и многие нелинейные системы, способ­на генерировать хаотичную динамику. Поскольку хаотичный сценарий в бизнесе крайне нежелате­лен, то возникает необходимость в инструмента­рии, позволяющем подавлять и предотвращать рыночный хаос. В последнее время очень активно развивается теория управления хаосом. Разработ­ке методов управления хаосом посвящено боль­шое количество теоретических и практических публикаций как отечественных, так и зарубеж­ных авторов.

Задача управления хаосом в модели Файхтингера исследовалась в работах [Holyst J.A., Hagel T., Haag G. et al., 1996; Holyst J.A., Hagel T., Haag G., 1997; Holyst J. A., UrbanowiczK., 2000; Holyst J.A., Zebrowska M., Urbanowicz K., 2001; Лоскутов А. Ю., 2010], где показано, что при со­ответствующем подборе параметров или функ­ций управления иногда удается подавить хаос и выйти на стабильный уровень. В данной статье для модели Файхтингера предлагается управ­ление, позволяющее нейтрализовать хаос и бы­стро стабилизировать бизнес обеих фирм. Это управление базируется на результатах работы [Леонов Г А., Звягинцева К. А., 2015], в которой содержится эффективный алгоритм стабилиза­ции на основе метода Пирагаса [Pyragas K., 1992] с запаздывающей обратной связью.

Модель Файхтингера является двухмерной дискретной системой

Здесь X1 (j), x2 (j) - значения продаж соответ­ственно первой и второй фирм в момент времени; - темпы снижения объемов про­

даж в отсутствие инвестиций, a, b - масштабы инвестиций, характеризующие эффективность инвестиций обеих фирм; с - мера эластичности инвестиционных стратегий. В дальнейшем будем использовать значения параметров, взятые из ра­бот [Feichtinger G., 1992; Лоскутов А. Ю., 2010]:

Хорошо известно, что поведение решения си­стемы (1) характеризуется высокочувствительной зависимостью от начальных данных. В качестве примера возьмем начальные условия

Вычисленное для этих значений решение си­стемы (1) показано на рис. 1 и 2, которые наглядно демонстрируют хаотичный характер поведения решения X1 (j), x2 (j). На рис. 3 представлен фазо­вый портрет соответствующей орбиты, который по своему виду похож на странный аттрактор.

В условиях рыночной экономики возникнове­ние хаотичного движения наблюдается довольно часто. Наиболее наглядным примером является фондовый рынок, где котировки акций иногда по­казывают весьма экзотичную динамику.

Как показывает приведенный на рис. 1 и 2 пример, при осуществлении деятельности на то­варном рынке нельзя исключать вероятность того, что в некоторый момент времени бизнес-процесс случайно попадет в зону точек бифуркации, ко­торые начинают порождать хаос. Менеджеры за­интересованы в стабильной работе своего пред­приятия. Поэтому важной задачей менеджмента является эффективное управление бизнесом, на­правленное на стабилизацию производства и не­допущение хаотичных тенденций.

Для системы  качестве стабильного и устойчивого решения логично брать неподвижную точку , которая находится из условия

что эквивалентно системе уравнений

где - первая координата неподвижной точ­ки; - вторая координата неподвижной точки.

Для значений (2) решением этой системы с точностью 10-14 (до 13 знаков после запятой) является

В реальном бизнеседобиться сколь угодно высокой точности весьма проблематично. Напри­мер, если объемы продаж обеих фирм выража­ются в миллионах долларов (рублей), то с точно­стью до центов (копеек) получается только восемь знаков после запятой. Решение системы (1) с на­чальными данными

после округления значений  до восьми знаков после запятой изображено на рис 4 и 5. Стабильный уровень продаж сохраняется внача­ле и только в краткосрочном периоде времени, а затем рынок переходит в стадию хаоса. Это обусловлено накоплением ошибки округления и особенностью хаотичности, которая заключа­ется в чрезвычайной чувствительности к малым возмущениям.

Таким образом, возникает необходимость по­давления хаоса и стабилизации уровней продаж. Этого можно добиться за счет введения функции управления и рассмотрения модифицированной системы

В последнее время очень активно развивается теория управления хаосом как одно из направле­ний теории управляемых процессов. По этой те­матике ежегодно публикуются сотни научных ис­следований. Воспользуемся результатами работы [Леонов Г А., Звягинцева К. А., 2015], в которой приведен эффективный и удобный для практики метод стабилизации дискретных систем.

Если систему (1) линеаризовать в окрестности неподвижной точки, а затем применить метод Пи- рагаса [Pyragas K., 1992], то получается система

Стабилизация системы (5) достигается за счет удачного выбора матриц

Следуя идеям работы [Леонов Г.А., Звягинцева К.А., 2015], используем двухпериодичную матрицу

где число q ∈ (–1,1); I – единичная матрица. Очевидно, что система (5) имеет вид (4), если в качестве управления взять

Результаты вычислений для системы (4) с управлением (6) и начальными данными (3) при­ведены на рис. 6 и 7. Стабилизация продаж обеих фирм происходит очень быстро, достигая высо­кой точности за малое количество итераций. Та­ким образом, для предотвращения хаотического сценария в бизнесе обеим компаниям необходи­мо проводить корректирующие (антикризисные) операции вида (6). Естественно, сразу возникает вопрос, насколько затратно и обременительно проведение таких операций.

Корректирующее воздействие обеих фирм требуется только в первые три периода времени, а затем оно становится нулевым (рис. 8). Отри­цательные значения корректирующих операций указывают на необходимость снижения продаж, например за счет соответствующего повышения цен на товары.

Если для деятельности фирм характерен бизнес-цикл, например периодичная двухуровне­вая динамика продаж, обусловленная сезонными или другими факторами, то в системе (1) необхо­димо использовать цикл с периодом два. Тогда линеаризация осуществляется в окрестности 2-го цикла, а далее повторяется приведенный выше алгоритм. Соответствующие графики подавле­ния хаоса и управленческих операций показаны на рис. 9-11.

Аналогично можно осуществить нейтрализа­цию рыночного хаоса и стабилизировать бизнес- цикл любого периода, который наблюдается в ди­намике продаж обеих фирм.

Для успешной деятельности компании не­обходимо учитывать поведение конкурентов и выстраивать собственную стратегию ведения бизнеса в соответствии с конъюнктурой, которая складывается в ее сегменте рынка. В данной ста­тье предложен способ управления бизнесом кон­курирующих фирм, который дает возможность нейтрализовать негативное воздействие хаотич­ного поведения рынка.

Главное преимущество рассмотренной мо­дели (4) с управлением (6) заключается в том, что за счет небольшого количества корректирую­щих операций можно подавить хаотическую ди­намику рынка и быстро вывести продажи фирм на устойчивые уровни. Важно также отметить, что предложенный метод управления процессами на рынке довольно прост в практической реализа­ции и может применяться при любой периодич­ности бизнес-циклов компаний. Таким образом, получен достаточно эффективный инструмент, позволяющий осуществлять стабилизацию биз­неса в условиях хаотичного рынка.

В практической деятельности представленная модель может использоваться для прогнозирова­ния различных бизнес-сценариев и диагностики возможного рыночного хаоса. На основе бухгал­терской отчетности и обязательной для раскры­тия информации менеджеры конкурирующих фирм могут оценить и рассчитать средние значе­ния параметров, входящих в модифицированную модель Файхтингера. Задав эти параметры и из­меняя начальные данные, можно моделировать сценарные прогнозы, которые являются базой для стратегического планирования деятельности компаний. В случае негативного сценария, обу­словленного возникновением рыночного хаоса, с помощью предложенной модели менеджеры компаний имеют возможность определять объ­емы антикризисных операций и моменты их про­ведения в целях противодействия кризисным явлениям. Практическое осуществление перечис­ленных мероприятий способствует разработке стратегии развития конкурирующих фирм.